解:
$ (1)$因为$10^m=2,$$10^n=3,$
$ $所以$10^{3m+2n+1}$
$=10^{3m}×10^{2n}×10$
$=(10^m)^3×(10^n)^2×10$
$=2^3×3^2×10$
$=8×9×10$
$=720。$
$ (2)$因为$3m+2n-5=0,$
所以$3m+2n=5,$
$ $所以$8^m×4^n$
$=(2^3)^m×(2^2)^n$
$=2^{3m}×2^{2n}$
$=2^{3m+2n}$
$=2^5$
$=32。$