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第13页

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 解：因为$6^x=192，$$32^y=192，$

 所以$6×6^{x-1}=6×32，$$32×32^{y-1}=6×32，$

 即$6^{x-1}=32，$$32^{y-1}=6。$

 所以$(6^{x-1})^{y-1}=6，$即$6^{(x-1)(y-1)}=6^1，$

 因此$(x-1)(y-1)=1。$

 则原式$=(-2024)^{1-2}=(-2024)^{-1}=-\frac{1}{2024}。$

解：

$ (1)$因为$a=16^{31}=(2^4)^{31}=2^{124}，$

$b=8^{41}=(2^3)^{41}=2^{123}，$

$c=4^{61}=(2^2)^{61}=2^{122}，$

$ $又因为$124＞123＞122，$

且底数$2＞1，$指数越大幂越大，

$ $所以$a＞b＞c。$

$ (2)$因为$3^{100}=(3^5)^{20}=243^{20}，$

$5^{60}=(5^3)^{20}=125^{20}，$

$ $又因为$243＞125，$且底数大于$1，$指数相同，底数越大幂越大，

$ $所以$3^{100}＞5^{60}。$

 解：

 (1)$N=2^{12}×5^9=2^3×2^9×5^9=8×(2×5)^9=8×10^9，$

 因为$8×10^9$是$8$后面有9个0，所以整数$N$是十位数。

 (2)$2^{2024}×3^{2025}=(2^{2024}×3^{2024})×3=6^{2024}×3，$

 因为6的任何正整数次幂的个位数字都是6，

 所以$6^{2024}$的个位数字是6，

 则$6×3=18，$所以$2^{2024}×3^{2025}$的个位数字是8。

 解：因为$25^{x-2}=5^{x+5}，$

即$(5^2)^{x-2}=5^{x+5}，$

 所以$5^{2(x-2)}=5^{x+5}，$

 则$2(x-2)=x+5，$

 $2x-4=x+5，$

 解得$x=9。$

 解：因为$4^{x+1}×3^x-4^x×3^{x+1}=2^3×6^3，$

 所以$4×4^x×3^x-3×4^x×3^x=(2×6)^3，$

 即$4×12^x-3×12^x=12^3，$

 $(4-3)×12^x=12^3，$

 $12^x=12^3，$

 解得$x=3。$

 解：

 (1)因为$2^{x+1}·2^x=2^5，$

 所以$2^{x+1+x}=2^5，$

即$2^{2x+1}=2^5，$

 则$2x+1=5，$

 解得$x=2。$

 (2)因为$2^{x+1}+2^x=24，$

 所以$2·2^x+2^x=24，$

即$(2+1)×2^x=24，$

 $3×2^x=24，$

 $2^x=8=2^3，$

 解得$x=3。$