第69页 - 苏科版数学补充习题九年级上下册答案

$解：设AB为xm$

$则BD=xm，BC=\sqrt 3x$

$∵CD=BC-BD=\sqrt 3x-x=20$

$∴(\sqrt 3-1)x=20$

$x=10\sqrt 3+10$

$答：山高AB为(10\sqrt 3+10)米。$

$解：∠PAB=90°-60°=30°$

$∠P=60°-∠PAB=30°=∠PAB$

$∴PB=BA=20$

$设点P到AB的距离为h\mathrm {km}$

$则h=PB · sin 60°=10\sqrt 3＜20$

答：有触礁的危险。

【解析】
设山高$AB$为$x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=45^{\circ}$，故$BD=AB=x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=30^{\circ}$，由$\tan C=\frac{AB}{BC}$，得$BC=\frac{AB}{\tan30^{\circ}}=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$。
因为$CD=BC-BD=20\ \mathrm{m}$，所以$\sqrt{3}x - x=20$，即$(\sqrt{3}-1)x=20$。
解得$x=\frac{20}{\sqrt{3}-1}=10\sqrt{3}+10$。
【答案】
山高$AB$为$(10\sqrt{3}+10)$米。
【知识点】
解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值
【点评】
本题通过构造直角三角形，结合仰角定义与特殊角的三角函数值，将线段长度用未知数表示，再根据已知线段长度列方程求解，体现了方程思想在解直角三角形问题中的应用。

【解析】
1. 根据方位角的定义，计算角度：$∠ PAB = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$；
2. 由B处观测的方位角可得$∠ PBH = 60^{\circ}$，进而推出$∠ P = 60^{\circ} - ∠ PAB = 30^{\circ}$，因此$∠ P = ∠ PAB$，根据等腰三角形的判定，得$PB = BA = 20\ \mathrm{km}$；
3. 过点$P$作$PH ⊥ AB$于$H$，设$PH = h\ \mathrm{km}$，在$\mathrm{Rt}△ PBH$中，$h = PB · \sin60^{\circ} = 20 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\ \mathrm{km}$；
4. 比较距离：$10\sqrt{3} \approx 17.32 ＜ 20$，故货轮继续航行有触礁危险。
【答案】
有触礁的危险
【知识点】
等腰三角形判定、解直角三角形、方位角应用
【点评】
本题将方位角转化为三角形内角，结合等腰三角形判定与解直角三角形，通过计算点到直线的距离与暗礁群半径比较，判断是否触礁，考查了方位角的理解和直角三角形的实际应用能力。