第34页 - 苏科版数学补充习题九年级上下册答案

$解：S_{△A'B'C'}=\frac 12×5×5-\frac 12×1×3$

$ -2×1-\frac 12×2×4=5$

$解：(1)∠B=∠EDB$

$∵CD⊥AB，E是BC的中点$

$∴DE=\frac 12BC=EB$

$∴∠B=∠EDB$

$(2)∵∠ACB=90°，CD⊥AB$

$∴∠ACD=∠B$

$又∠B=∠EDB，∠EDB=∠ADF$

$∴∠ADF=∠ACD$

$又∵∠F=∠F$

$∴△ADE∽△DCF$

$∠ACD=∠B$

【解析】
1. 先利用勾股定理计算$△ ABC$的三边长：$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$AC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，三边之比为$1:\sqrt{5}:\sqrt{10}$。
2. 在$5×5$正方形网格中，构造顶点在格点上且与$△ ABC$相似的面积最大的$△ A'B'C'$（构造图见参考图），用割补法计算其面积：
$\begin{aligned}S_{△ A'B'C'}&=\frac{1}{2} × 5 × 5 - \frac{1}{2} × 1 × 3 - 1 × 2 - \frac{1}{2} × 2 × 4\\&=\frac{25}{2} - \frac{3}{2} - 2 - 4\\&=5\end{aligned}$
【答案】
构造的$△ A'B'C'$如图所示，其面积为$\boldsymbol{5}$。
【知识点】
相似三角形的性质，勾股定理，割补法求面积
【点评】
本题考查相似三角形的构造与面积计算，需结合勾股定理确定原三角形的边长比例，再根据网格特征构造面积最大的相似三角形，割补法是格点三角形面积计算的高效方法，需熟练运用。

【解析】
(1) $\boldsymbol{∠B=∠EDB}$，理由如下：
∵ $CD⊥AB$，$E$是$BC$的中点，
∴ $DE=\frac{1}{2}BC=EB$，
∴ $∠B=∠EDB$。
(2) $\boldsymbol{△ADF∽△DCF}$，理由如下：
∵ $∠ACB=90^{\circ}$，$CD⊥AB$，
∴ $∠ACD=∠B$。
又
∵ $∠B=∠EDB$，$∠EDB=∠ADF$，
∴ $∠ADF=∠ACD$。
又
∵ $∠F=∠F$，
∴ $△ADF∽△DCF$。
【答案】
(1) $∠B$与$∠EDB$相等，理由见上述解析；
(2) $△ADF$与$△DCF$相似，理由见上述解析。
【知识点】
直角三角形斜边中线定理；等腰三角形性质；相似三角形判定
【点评】
本题综合考查直角三角形、等腰三角形及相似三角形的相关定理，通过角的等量代换推导角的关系是解题关键，需熟练掌握相关性质并灵活运用。

【解析】
已知△ACD与△ABC有公共角∠A，根据相似三角形“两角对应相等，两三角形相似”的判定定理，添加∠ACD=∠B，即可判定△ACD∽△ABC。
【答案】
$\boldsymbol{∠ACD=∠B}$（答案不唯一，也可添加$∠ADC=∠ACB$或$AC^2=AD·AB$等）
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题考查相似三角形的判定，借助公共角结合判定定理可添加多种符合要求的条件，需熟练掌握相似三角形的各类判定方法。

【解析】
∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠AEC=∠ADB=∠BEF=∠CDF=90°。
1. △AEC与△ADB：
∠A为公共角，∠AEC=∠ADB=90°，根据两角分别相等的两个三角形相似（AA），得△AEC∽△ADB；
2. △AEC与△BEF：
∠AEC=∠BEF=90°，且∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，故∠ABD=∠ACE，根据AA判定，得△AEC∽△BEF；
3. △AEC与△CDF：
∠AEC=∠CDF=90°，∠ACE=∠DCF（公共角），根据AA判定，得△AEC∽△CDF。
综上，与△AEC相似的三角形有3个。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、直角三角形性质
【点评】
本题需结合直角三角形的高的性质，利用“两角分别相等的两个三角形相似”识别相似三角形，解题时要仔细分析图中角的等量关系，避免漏数相似三角形。