解：$(1)$设运动时间为$ts$
由题意得$BP=AB-AP=(6-t)\mathrm {cm}，$$BQ=2t\mathrm {cm}$
∴$S_{△PBQ}=\frac 12(6-t)×2t=8$
解得$t_{1}=2，$$t_{2}=4$
∴运动开始后$2s $或$4s，$$△PBQ $的面积等于$8\ \mathrm {cm}^2$
$(2)$由题意得$S=6×12-\frac 12×(6-t)×2t=t^2-6t+72$
自变量$t $的取值范围为$0≤t≤6$
$(3)S=t^2-6t+72=(t-3)^2+63$
当$t=3$时，$S{最小}，$最小为$63\ \mathrm {cm}^2$
