解：$(1)$由题意得，设二次函数的表达式为$y=a(x+1)^2+2$
将点$(0，$$\frac 32)$代入，得到$a=-\frac 12$
∴$y=-\frac 12(x+1)^2+2，$函数图像如图所示
$(2)$证明：当$x=m $时，$y=-\frac 12(m+1)^2+2=-\frac 12\ \mathrm {m^2}-m+\frac 32$
当$-\frac 12\ \mathrm {m^2}-m+\frac 32=-\mathrm {m^2}$时，$\frac 12\ \mathrm {m^2}-m+\frac 32=0$
$\mathrm {m^2}-2m+3=0$
此时$(-2)^2-4×3<0$
∴此方程无解
∴对任意实数$m，$点$M(m，$$-\mathrm {m^2})$都不在这个二次函数的图像上
