解：
$ (1)$将$x=-3$代入方程$(k+3)x + 2 = 3x - 2k，$得
$ (k+3)(-3) + 2 = 3(-3) - 2k$
$ -3k - 9 + 2 = -9 - 2k$
$ -3k - 7 = -9 - 2k$
$ $解得$k=2。$
$ (2)$由$(1)$知$k=2，$则$BC=2AC。$设$AC=x\,\text{cm}，$则
$BC=2x\,\text{cm}。$
$ ①$当点$C$在线段$AB$上时，$AC + BC = AB，$即$x + 2x = 6，$解得$x=2；$
$ ②$当点$C$在$BA$的延长线上时，$BC - AC = AB，$即$2x - x = 6，$解得$x=6。$
综上，线段$AC$的长为$2\,\text{cm}$或$6\,\text{cm}。$
