$ (2)$解：因为$''$美满方程$''$两个解的和为$10，$其中一个解为$n，$
$ $所以另一个解为$10−n $因为一对$''$美满方程$''$的两个解的差为$−2，$
所以$n−(10−n)=−2$或$10−n−n=−2$
解得$n=4$或$n=6. $
$(3)$解：解方程$−y+1=2y+7，$得$y=−2，$
从而由$''$美满方程$''$的定义知方程$\frac {3x+2\ \mathrm {m}a}2=\frac 63−m $的解为$x=12，$
于是$\frac {36+2\ \mathrm {m}a}2=\frac {b}3−m，$
化简，得$(6a+6)m=2b−108. $
因为$m $取任何有理数上式都成立，
所以$6a+6=0$且$2b−108=0，$
解得$a=−1，$$b=54，$
所以$a^{b}=(−1)^{54}=1.$
