$(2)$解：设点$P $运动的时间为$t_{秒}$
则$PA=t+8，PB= |t-4|$
因为点$P $是关于$A→B$的$“$广益点$”$
所以$t+8=3|t-4|$
所以$t+8=3(t-4)$或$t+8=3(4-t)$
所以$t=10$或$t=1$
所以点$P $的运动时间为$1$秒或$10$秒
$(3)$解$：$设点$P $表示的数为$n，$则
$PA=n+8$或$PA=-8-n，PB=4-n，$
$AB=12$
分$6$种情况讨论如下$：$
$①$当点$A$是关于$P→B$的$“$广益点$”$时
$AP=3AB，-8-n=36$或$n+8=36$
所以$n=-44$或$n=28($舍去$)$
$②$当点$A$是关于$B→P $的$“$广益点$”$时
$AB=3AP$
$3(-8-n)=12$或$3(8+n)=12$
所以$n=-12$或$n=-4$
$③$当点$P $是关于$A→B$的$“$广益点$”$时
$PA=3PB$
$-8-n=3(4-n)$或$8+n=3(4-n)$
所以$n=10($舍去$)$或$n=1($舍去$)$
$④$当点$P $是关于$B→A$的$“$广益点$”$时
$PB=3PA$
$4-n=3(n+8)$或$4-n=3(-n-8)$
所以$n=-5$或$n=-14$
$⑤$当点$B$是关于$P→A$的$“$广益点$”$时
$PB=3AB$
$4-n=36$
所以$n=-32$
$⑥$当点$B$是关于$A→P $的$“$广益点$”$时
$AB=3PB$
即$3(4-n)=12$
所以$n=0($舍去$)$
综上，所有符合条件的点$P $表示的数为
$-4，-5，-12，-14，-32，-44$
