解：$(1)$因为$2\ \mathrm {A}+B+C=0$
所以$C=−2\ \mathrm {A}−B $
因为$A=x^2−\frac 32xy+2y^2，$$B=−4x^2+3xy，$
所以$C=−2(x^2−\frac 32xy+2^2)−(−4x^2+3xy)$
$=−2x^2+3xy−4y^2+4x^2−3xy$
$=2x^2−4y^2. $
$(2)$因为$|x+2|+(y−\frac 13)^2=0，$
所以$x+2=0$且$y−\frac 13=0，$
所以$x=−2，$$y=\frac 13，$
所以$C=2×(−2)2−4×(\frac 13)^2$
$=2×4−4×\frac 19=8−\frac 49=\frac {68}9 .$
