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第123页

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解：设$M$是$AC$中点，则$MC=\frac{1}{2}AC；$$N$是$BD$中点，则$DN=\frac{1}{2}BD。$$MN=MC + CD + DN=\frac{1}{2}AC + CD + \frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}(AC + BD)+CD。$因为$AB=AC + CD + BD，$所以$AC + BD=AB - CD，$则$MN=\frac{1}{2}(AB - CD)+CD=\frac{1}{2}(AB + CD)$

解：(1)因为$AB = 3\,\text{cm}，$$BC = 2AB=6\,\text{cm}，$所以$AC=AB + BC=9\,\text{cm}。$$E$是$AC$中点，$AE=\frac{1}{2}AC = 4.5\,\text{cm}；$$D$是$AB$中点，$AD=\frac{1}{2}AB = 1.5\,\text{cm}，$所以$DE=AE - AD=4.5 - 1.5=3\,\text{cm}；$

 (2)是，因为$D$是$AB$中点，$DB=\frac{1}{2}AB = 1.5\,\text{cm}，$$BE=AE - AB=4.5 - 3=1.5\,\text{cm}，$所以$DB=BE，$即$B$是$DE$中点

解：因为$C$为$AB$的中点，所以$BC=\frac 12\ \mathrm {A}B=3\ \mathrm {cm}. $

分以下两种情况讨论：$ ①$点$D$在线段$AC$上，则$BD=BC+CD. $因为$CD=2\ \mathrm {cm}，$

所以$BD=BC+CD=3+2=5(\mathrm {cm}). $

$②$点$D$在线段$BC$上，则$BD=BC−CD=3−2=1(\mathrm {cm}).$

综上，线段$BD$的长为$5\ \mathrm {cm}_{或1}\mathrm {cm}.$

解：分两种情况$.①$若点$C$在点$A，$$B$之间，如图①所示，

因为$M，$$N$分别为$AB，$$BC$的中点，

所以$BM=\frac 12\ \mathrm {A}B，$$BN=\frac 12BC. $因为$MN=BM−BN，$

所以$MN=\frac 12(AB−BC)=\frac 12×(60−40)=10. $

$②$若点$C$在线段$AB$的延长线上，如图②所示.

因为$M，$$N$分别为$AB，$$BC$的中点，

所以$BM=\frac 12\ \mathrm {A}B，$$BN=\frac 12BC. $

因为$MN=MB+BN，$

所以$MN=\frac 12(AB+BC)=\frac 12×(60+40)=50. $

综上，$MN$的长为$10$或$50.$

解：(1)$AB=AC + CB=12 + 6=18\,\text{cm}，$$E$是$AB$中点，$AE=\frac{1}{2}AB = 9\,\text{cm}；$$D$是$AC$中点，$AD=\frac{1}{2}AC = 6\,\text{cm}，$所以$DE=AE - AD=9 - 6=3\,\text{cm}；$

 (2)当$F$在$B$右侧时，$AF=AB + FB=18 + 4=22\,\text{cm}；$当$F$在$B$左侧时，$AF=AB - FB=18 - 4=14\,\text{cm}，$所以$AF=14\,\text{cm}$或$22\,\text{cm}$