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解：设规定加工的零件数量为$x$个。

根据加工时间相等可列方程：$\frac{x - 20}{44} = \frac{x + 10}{50}$

去分母，得$50(x - 20) = 44(x + 10)$

去括号，得$50x - 1000 = 44x + 440$

移项，得$50x - 44x = 440 + 1000$

合并同类项，得$6x = 1440$

系数化为$1，$得$x = 240$

答：规定加工的零件数量为$240$个。

解：$(1)$设他们第一次相遇时，跑了$x$分钟。

$ 360x - 240x = 400$

$ 120x = 400$

$ x = \frac {10}{3}$

$ (360 + 240) ×\frac {10}{3} = 600 ×\frac {10}{3} = 2000($米$)$

答：两人一共跑了$2000$米。

$ (2)$设他们$y$分钟后第一次相遇。

$ 360y + 240y = 400$

$ 600y = 400$

$ y = \frac {2}{3}$

答：他们$\frac {2}{3}$分钟后第一次相遇。

解：设盈利了$25\%$的那件玩具的进价为$x$元，

根据题意，得$x(1 + 25\%) = 90，$

解得$x = 72，$

则实际盈利为$90 - 72 = 18$（元）。

设亏损了$25\%$的那件玩具的进价为$y$元，

根据题意，得$y(1 - 25\%) = 90，$

解得$y = 120，$

则实际亏损为$120 - 90 = 30$（元）。

因为$30 - 18 = 12$（元），

所以商店卖出这两件玩具是亏损了，且亏损了$12$元。