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解：(1)原式$=3a^2 - a + 3 + 2a - 4a^2$

$=(3a^2 - 4a^2) + (-a + 2a) + 3$

$=-a^2 + a + 3$

当$a = -2$时，

原式$=-(-2)^2 + (-2) + 3$

$=-4 - 2 + 3$

$=-3$

解：(2)原式$=2x^2y + 3xy^2 - 4x^2y - 2xy^2 - 3$

$=(2x^2y - 4x^2y) + (3xy^2 - 2xy^2) - 3$

$=-2x^2y + xy^2 - 3$

当$x = \frac{1}{2}，$$y = -2$时，

原式$=-2×(\frac{1}{2})^2×(-2) + \frac{1}{2}×(-2)^2 - 3$

$=-2×\frac{1}{4}×(-2) + \frac{1}{2}×4 - 3$

$=1 + 2 - 3$

$=0$

解：原式$=(8x^2 - 6x^2) + (5y^2 - 3y^2) + (-3xy + 7xy)$

$=2x^2 + 2y^2 + 4xy$

$=2(x^2 + y^2) + 4xy$

当$x^2 + y^2 = 5，$$xy = -2$时，

原式$=2×5 + 4×(-2)$

$=10 - 8$

$=2$

解:他的说法有道理，理由如下：

$\begin{aligned}&\frac{5}{2}a^3b + 3a^2b - \frac{1}{2}a^3b - 2a^3b - 2a^2b + 3 - a^2b\\=&(\frac{5}{2}a^3b - \frac{1}{2}a^3b - 2a^3b) + (3a^2b - 2a^2b - a^2b) + 3\\=&((\frac{5}{2} - \frac{1}{2} - 2)a^3b) + ((3 - 2 - 1)a^2b) + 3\\=&0a^3b + 0a^2b + 3\\=&3\end{aligned}$

因为化简后的结果为常数3，与$a$、$b$的取值无关，

所以题中给出的条件“$a = 3，$$b = -2$”是多余的。

解：$(1)$原式$ A = 6mn - 4\ \mathrm {m^2} - 2m + 3\ \mathrm {m^2} + 5m - 4mn - 3m $

$ = (6mn - 4mn) + (-4\ \mathrm {m^2} + 3\ \mathrm {m^2}) + (-2m + 5m - 3m) $

$ = 2mn -\mathrm {m^2} + 0 $

$ = 2mn -\mathrm {m^2} $

$ (2)$对于多项式$ x^2 + mx - nx^2 - 3x + 4 ，$合并同类项得：

$ = (1 - n)x^2 + (m - 3)x + 4 $

$ $因为多项式的值与$ x $无关，所以$ x $的各项系数为$ 0，$即：

$ 1 - n = 0 $且$ m - 3 = 0 $

解得：$ n = 1 ，$$ m = 3 $

$ $将$ m = 3 ，$$ n = 1 $代入$ A = 2mn -\mathrm {m^2} $中，得：

$ A = 2×3×1 - 3^2 = 6 - 9 = -3 $