解：$(1) $∵$∠AOB=∠COD=90°$
即$ ∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD$
∴$∠AOC=∠BOD$
在$△AOC $和$△ BOD $中
$\begin {cases}{AO=BO}\\{∠AOC=∠BOD}\\{CO=DO}\end {cases}$
∴$△AOC≌△BOD，$∴$AC=BD$
$(2) $由$(1)$知$△AOC≌△ BOD$
∴$ $阴影部分的面积$S=S_{扇形OAB}-S_{扇形OCD}$
$=\frac {90π·OA^2}{360}-\frac {90π·OC^2}{360}=\frac {90π·(OA^2-OC^2)}{360}$
∴$\frac 34π=\frac {90π·(2^2-OC^2)}{360}$
∴$OC=1$
