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解：直线$PQ $与$⊙O$相切，理由如下：

连接$OP、$$CP$

∵$BC$是$⊙O$的直径，∴$∠BP C=90°$

又∵$Q $是$AC$的中点，∴$PQ=CQ=AQ$

∴$∠QP C=∠P CQ$

∵$∠BCA=90°，$∴$∠OCP+∠P CQ=90°$

∵$∠OP C=∠OCP，$$∠QP C=∠P CQ$

∴$∠OP C+∠QP C=90°，$即$∠OPQ=90°$

∵以$BC$为直径的$⊙O$交$AB$于点$P$

∴直线$PQ $与$⊙O$相切

解：设$∠COB=n°$

∵$⊙O$的半径为$8，$$\widehat {BC}$的长为$2π$

∴$ \frac {nπ×8}{180}=2π，$∴$n=45$

∴$∠COB=45°$

∵$AC$是$⊙O$的切线，切点为$C$

∴$OC⊥AC$

∵$OC⊥AC，$$OC=8，$$∠COB=45°$

∴$AC=OC=8$

∴$ AO=\sqrt {8^2+8^2}=8\sqrt 2$

∴$ AB=OA-OB=8\sqrt 2-8$

解：$ CE= BF，$理由如下：

∵$BC$是$\odot O$的直径，∴$∠BAF=∠CAE=90°$

∵$\widehat {AD }$所对的圆周角有$∠ACE$和$∠ABF$

∴$∠ACE=∠ABF$

∵$\widehat {AB }=\widehat {AC }，$∴$AB=AC$

在$∆ABF $和$∆ACE$中

$\begin {cases}{∠BAF=∠CAE }\\{AB=AC}\\{∠ABF=∠ACE } \end {cases}$

∴$∆ABF≌∆ACE(AS A)$

∴$CE=BF$

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