解$：(1)$设第一次购进甲商品$x$件，则购进乙商品$(2x + 15)$件。
$ 20x + 30(2x + 15) = 4450$
$ 20x + 60x + 450 = 4450$
$ 80x = 4000$
$ x = 50$
$ 2x + 15 = 2×50 + 15 = 115$
答：第一次购进甲商品$50$件，乙商品$115$件。
$ (2)$第一次总利润：$(25 - 20)×50 + (40 - 30)×115 = 250 + 1150 = 1400($元$)$
$ $第二次购进甲商品$100$件，乙商品$115$件。
$ $设第二次甲商品按原价打$m_{折销售}。$
$ (25×0.1m - 20)×100 + (40 - 30)×115 = 1400$
$ (2.5m - 20)×100 + 1150 = 1400$
$ 250m - 2000 + 1150 = 1400$
$ 250m = 2250$
$ m = 9$
答：第二次甲商品是按原价打$9$折销售的。
