解：$(1)$∵点$P(1，$$b)$在直线$l_{1}∶y = x + 1$上
∴将$x = 1$代入$y = x + 1，$得$b = 1 + 1 = 2$
$(3)$当$n = 3$时，直线$l_{2}$的函数表达式为$y = mx + 3$
在$y = mx + 3$中，令$x = 0，$得$y = 3；$
在$y = x + 1$中，令$x = 0，$得$y = 1$
∴直线$l_{1}、$直线$l_{2}$与$y$轴所围成的三角形的
底为$3 - 1 = 2，$高为$1$
可得面积为$\frac 12×1×(3 - 1)=1$
