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第96页

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$\frac{29}{3}$

2.5

$\frac{1}{6}$

解：$(2)y = \begin {cases}2.5(15\leqslant x<30)\\-\frac 1{15}x + 4.5(30\leqslant x\leqslant 45)\end {cases}$

$(3)$由图，得当$y = 2$时，$0\leqslant x\leqslant 15$或$30\leqslant x\leqslant 45$

当$0\leqslant x\leqslant 15$时，设$y = k'x$

把$(15，$$2.5)$代入$y = k'x$中

得$15k' = 2.5，$解得$k'=\frac 16$

则$y = \frac 16x$

令$y = 2，$得$\frac 16x = 2，$解得$x = 12$

由$(2)，$得当$30\leqslant x\leqslant 45$时，$y = -\frac 1{15}x + 4.5$

令$y = 2，$得$-\frac 1{15}x + 4.5 = 2，$解得$x = 37.5$

综上，当小明离家$2\ \mathrm {km }$时，他离家的时间

为$12 \mathrm {\mathrm {min}}$或$37.5 \mathrm {\mathrm {min}}$

解：$(1)$设$OA$所在直线对应的函数表达式为$y = mx$

把$A(5，$$1000)$代入$y = mx$得$5m = 1000，$解得$m = 200$

∴$OA$所在直线对应的函数表达式为$y = 200x$

$(2)$设$BC$所在直线对应的函数表达式为$y = kx + b$

由题意把$B(0，$$1000)，$$C(10，$$0)$分别代入，

得$\begin {cases}1000 = 0 + b\\0 = 10k + b\end {cases}，$解得$\begin {cases}{k = - 100}\\{b=1000}\end {cases}$

∴直线$BC$对应的函数表达式为$y = - 100x + 1000$

由甲、乙两机器人相遇时，两函数的纵坐标相等

即$200x = - 100x + 1000，$解得$x = \frac {10}3$

∴出发后甲机器人行走$\frac {10}3 \mathrm {\mathrm {min}}$与乙机器人相遇

$(3)$设甲机器人行走$t \mathrm {\mathrm {min}}$到$P $地，

则$P $地与$M$地的距离为$200\ \mathrm {t} m$

又再经过$1 \mathrm {\mathrm {min}}$乙机器人到$P $地，

则乙机器人行走$(t + 1) \mathrm {\mathrm {min}}$到$P $地

∴$P $地与$M$地的距离为$[-100(t + 1)+1000]m$

由题意得$200t = - 100(t + 1)+1000，$解得$t = 3$

则$200t = 600$

∴$P，$$M$两地间的距离为$600\ \mathrm {m}$