$证明:如图，作点C关于直线EF的对称点C',$ $连接DC',AC',$ $则直线EF是线段CC'的垂直平分线\ $ $因此，DC=DC',AC= AC',∠1=∠2.$ $∵EF//BC,\ $ $∴ ∠2 = ∠ACB, ∠3 = ∠ABC.\ $ $∵ AB = AC,\ $ $∴∠ABC=∠ACB.$ $∴∠3=\ ∠2,$ $∴ ∠1=∠3.\ $ $∴ ∠3+ ∠EAC'=∠1+∠EAC'=\ 180°.$ $∴点B,A,C'在同一条 直线上$ $∵ C'B＜DB+DC',C'B=2AB,$ $∴ DB+DC＞2AB.$
$证明:∵BD平分∠ABC，$ $∴∠EBD=∠CBD.\ $ $∵ED//BC,\ $ $∴ ∠EDB=∠CBD.\ $ $∴ ∠EBD=∠EDB,$ $∴EB=ED.$ $同理可证,FD=FC.$ $∵ EF=ED-FD,$ $∴ EF=EB-FC.$
$证明:如图，延长AD交BC于点E.$ $在△ABD和\ △EBD中，$ $∠ABD= ∠EBD,$ $BD=BD$ $∠ADB=∠EDB,$ $\ ∴ △ABD≌△EBD.\ $ $∴∠BAD=∠BED.\ $ $∵ ∠BED=∠DAC+∠C,\ $ $∴∠BAD=∠DAC+∠C.\ $
$证明:∵△ABC和△BDE都是等边三角形，$ $∴AB=CB,∠ABC=∠DBE =60°,BD=BE.$ $∴∠MBN=60°.\ $ $∴ ∠ABN=∠CBM=120°.\ $ $在△ABD和△CBE中$ $\begin{cases}{AB=CB\ }\\{∠ABD=∠CBE} \\ {BD=BE} \end{cases}$ $∴△ABD≌△CBE.$ $∴∠BAD=∠BCE.$ $在△ABN和△CBM中，$ $\begin{cases}{∠BAN=∠BCM\ }\\{AB=CB} \\ {∠ABN=∠CBM} \end{cases}$ $\ ∴ △ABN≌△CBM.\ $ $∴ BN=∠BM.$ $又∵∠MBN=60°,$ $∴△BMN是等边三角形$
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