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$证明：连接PB，PC，$

$∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，$

$PM⊥AC，$

$∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，$

$∵P在BC的垂直平分线上，$

$∴PC=PB，$

$在Rt△PMC和Rt△PNB中$

$PC=PB$

$PM=PN$

$∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），$

$∴BN=CM．$

$解：连接MP交OA于K点.$

$∵点M是点P关于直线OA的对称点， $

$∴OA为MP的中垂线， $

$∴△EMK≌△EPK， $

$∴PE=ME. $

$同理可得FP=FN. $

$∵△PEF的周长=15\ \mathrm {cm}， $

$∴PE+PF+EF=ME+EF+FN=15\ \mathrm {cm}， $

$∴MN=15\ \mathrm {cm}． $