$50\ \mathrm {cm}²或40\ \mathrm {cm²}或30\ \mathrm {cm}² $
$证明：(1)由题意，设BD=x(x＞0)，则CD=3x， AD=4x.$ $因为CD⊥AB，所以∠ADC=90°.$ $在 Rt△ACD 中,由勾股定理得AC²=AD²+ CD²=(5x)²,$ $所以 AC=5x.$ $又AB=BD+ AD=5x，$ $所以AC=AB.$ $所以△ABC是等腰三角形.$ $（更多请点击查看作业精灵详解）$
$解：(2)△MDE 能成为等腰三角形.\ $ $由(1)得 BD=x(x＞0),CD=3x,AD=4x,AC= AB=5x.$ $因为S_{△ABC}=30，$ $所以\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}·5x·3x=30，$ $解得x=2.$ $所以 BD=2, CD=6,AD=8,AC=AB=10.$ $又 E为边AC 的中点，CD⊥AB，$ $所以 DE=CE=AE= \frac{1}{2}AC=5.$ $当点M在BD 上，$ $即 0≤t＜2 时,\ ∠EDM＞90°,$ $△MDE 为钝角三角形，$ $但 DM≠DE,$ $不能构成等腰三角形，舍去;$ $当M， D两点重合，$ $即 t=2时，△MDE不存在，舍 去;$ $当点M在DA上，$ $即 2＜t≤10时,DM=BM-BD=t-2.$ $分类讨论如下:$ $① 当DE=DM时，即5=t-2，$ $解得t=7;$ $②当DE=EM时，易得M，A 两点重合,$ $此时 t=10;$ $③ 当DM=EM时，$ $如图，过点 E作EF⊥AD 于点F，$ $则AF=DF=\frac{1}{2}AD=4.$ $在Rt△DEF 中,由勾股定理得，\ $ $EF²=DE²-DF²=3²，$ $所以EF=3.$ $又BM=t,BF=BD+DF=6,$ $所以MF=BF-BM=6-t.$ $在Rt△EMF中,由勾股定理得，\ $ $EF²+MF²=EM²，$ $即 3²+(6-t)²=(t-2)²,$ $解得t=\frac{41}{8}.$ $综上，t 的值为7或\frac{41}{8}或10时，△MDE能成为等腰三角形.$
$证明：(1)①连接EG,$ $因为四边形ABCD是长方形，\ $ $所以∠A=∠EDG=90°.\ $ $由折叠的性质得∠EFB=∠A=90°,EF=EA.$ $又∠EFG+∠EFB=180°，$ $所以∠EFG=180°-∠EFB=90°,$ $又 E 为AD 的中点，$ $所以 EA=ED，$ $即EF=ED.\ $ $又 EG=EG，$ $所以Rt△EDG≌Rt△EFG(\mathrm {HL}).$ $所以DG=FG.\ $
$②由(1)①得DG=FG.$ $设DG=FG=x\ $ $因为四边形ABCD为长方形，AB=6,AD=8,$ $所以BC=AD=8,CD=AB=6,∠C=90°.$ $所以CG=CD-DG=6-x.\ $ $由折叠的性质得BF=AB=6.$ $所以BG=BF+FG=6+x，$ $在Rt△BCG 中,由勾股定理得，\ $ $BC²+CG²=BG²,$ $所以8²+(6-x)²=(6+x)²，$ $解得x=\frac{8}{3}.$ $则FG的长为\frac{8}{3} .$
$解：(2)△DEF可以为直角三角形.$ $由(1)②得BF=6,BC=8,$ $所以点 F不可能落在边CD上，$ $即∠EDF＜90°$ $所以分两种情况讨论:$ $①如图①，当∠EFD=90°时，$ $由(1)①得∠EFB=90°，$ $所以∠EFB+∠EFD=180°，$ $即B,F,D 三点共线.\ $ $由折叠的性质得 EF=AE,BF=AB=6.$ $在Rt△ABD 中,由勾股定理得，$ $BD²=AB²+AD²=10²，$ $所以 BD=10,$ $所以DF=BD-BF=4.$ $设AE=EF=y，$ $则DE=AD-AE=8-y.$ $在Rt△EFD 中,由勾股定理得$ $DE²=EF²+DF²，$ $所以(8-y)²=y²+4²，$ $解得y=3.$ $所以AE=3;$ $②如图②，当∠FED=90°时,$ $易得AE=AB=6.$ $综上，满足条件的AE的长为3或6. $
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