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第133页

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$证明:(1)在△DFC中，∠DFC=90°，$

$∠C=30°，DC=2t，$

$∴DF=t.又AE=t，∴AE=DF.$

$解:(2)能.理由如下:\ $

$∵AB⊥BC，DF⊥BC，$

$∴AE//DF.又AE=DF，$

$∴四边形AEFD为平行四边形.$

$在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5\sqrt{3}，$

$∠C=30°，$

$∴AC=2AB，$

$BC= \sqrt{AC²-AB²}=\sqrt {3} AB=5\sqrt{3}，$

$∴AB=5，AC=10.\ $

$∴AD=AC-DC=10-2t.\ $

$若使▱AEFD为菱形，则需AE=AD，\ $

$即t=10-2t，解得t=\frac{10}{3}.$

$即当t=\frac{10}{3}时，四边形AEFD为菱形.$

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$解:当α=60°或300°时，GC=GB，理由如下:\ $

$当GC=GB时，点G在BC的垂直平分线上.$

$分两种情况讨论:$

$①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于点M，连接GB、GC、GD，如图(1).\ $

$∵GC=GB，CH=BH，$

$∴GH⊥BC，$

$∴四边形ABHM是矩形，$

$∴AM=BH=\frac{1}{2}AD，$

$∴GM垂直平分AD，$

$∴GD=GA=AD，$

$∴△ADG是等边三角形，\ $

$∴∠DAG=60°，$

$∴旋转角α=60°.$

$②当点G在AD左侧时，如图(2)，同理可得△ADG是等边三角形，$

$∴∠DAG=60°，$

$∴旋转角α=360°-60°=300°.\ $

$综上，α=60°或300°时，GB=GC.$

$证明:∵四边形ABCD是矩形，\ $

$∴OA=OC=\frac{1}{2}AC，$

$OB=OD=\frac{1}{2} BD，$

$AC=BD.\ $

$∴OB=OC=OA=OD.\ $

$又BE=CE，OE=OE，\ $

$∴△BEO≌△CEO(SSS).$

$解:△DHE、△CHO、△DEG、△BFO都与△AEF 的面积相等.理由如下:\ $

$∵四边形ABCD是矩形，$

$∴∠BAD=∠CDA=90°，AB//CD，AB=DC.\ $

$∵BE=CE，$

$∴Rt△BAE≌Rt△CDE(HL).\ $

$∴∠AEB=∠DEC，AE=DE.\ $

$∵OA=OD，$

$∴∠OEA=∠OED=90°.\ $

$∴∠BAD=∠OED=90°，$

$∠ADC=∠AEO=90°，$

$∴AB//OE，DC//OE.\ $

$∴△AEO的面积=△BEO的面积，$

$△DEO的面积=△COE的面积，$

$∴△AEO的面积-△EFO的面积=△BEO的面积-△EFO的面积，$

$△DEO的面积-△EHO的面积=△COE的面积-△EHO的面积，$

$∴△AEF 的面积=△BFO 的面积，$

$△DHE的面积=△CHO的面积.\ $

$∵OA=OD，$

$∴∠DAO=∠ADO，$

$∴易证△AEF≌△DEH(ASA)，$

$∴△AEF的面积=△DHE的面积=△CHO的面积.\ $

$∵DG//AC，$

$∴∠G=∠AFE，∠GDE=∠FAE，$

$\ 又AE=DE，$

$∴△AEF≌△DEG(AAS)，$

$∴△AEF的面积=△DEG的面积.\ $

$∴△DHE、△CHO、△DEG、△BFO都与△AEF的面积相等.$

$解:①当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形.\ $

$在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，\ $

$∴AD=2AE，$

$即10-2t=2t，$

$解得t=\frac{5}{2}；\ $

$②当∠DEF=90°时，由(2)四边形AEFD为平行四边形知EF//AD，\ $

$∴∠ADE=∠DEF=90°.\ $

$∵∠A=90°-∠C=60°，\ $

$∴∠AED=90°-∠A=30°，$

$∴AD=\frac{1}{2}AE，$

$即10-2t=\frac{1}{2}t，$

$解得t=4；\ $

$③当∠EFD=90°时，此种情况不存在.\ $

$综上所述，当t=\frac{5}{2}秒或4秒时，△DEF为直角三角形.$

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