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$x_{1}=1，x_{2}=-1 $

-4

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$解:将A(2,4)代入反比例函数解析式，得m=8，\ $

$∴反比例函数解析式为y=\frac{8}{x}.\ $

$将B(n,-2)代入反比例解析式，得n=-4，\ $

$即B(-4,-2).\ $

$将A与B的坐标代入y=kx+b中，得$

$\begin{cases}{ 2k+b=4, }\ \\ {\ -4k+b=-2,} \end{cases}\ $

$解得\begin{cases}{ k=1, }\ \\ {b=2.\ } \end{cases}\ $

$∴一次函数解析式为y=x+2.$

$解:由图像可知，a的取值范围是a＞2.\ $

$解:∵反比例函数y_{2}=\frac{m}{x}(x＞0)的图像经过点A(4, 1)，$

$∴1=\frac{m}{4}.\ $

$∴m=4.$

$∴反比例函数解析式为y_{2}=\frac{4}{x}(x＞0).\ $

$把B(\frac{1}{2},a)代入y_{2}=\frac{4}{x}(x＞0)，得a=8，\ $

$∴点B坐标为(\frac{1}{2},8).\ $

$∵一次函数解析式y_{1}=kx+b，经过A(4,1)、B(\frac{1}{2},8)，$

$∴\begin{cases}{\ 4k+b=1, }\ \\ {\ \frac{1}{2}k+b=8\ .} \end{cases}\ $

$∴\begin{cases}{k=-2,\ }\ \\ {b=9.\ } \end{cases}\ $

$∴一次函数解析式为y_{1}=-2x+9.$

$解:∵y_{1}-y_{2}＞0，$

$∴y_{1}＞y_{2}，$

$即反比例函数值小于一次函数值.$

$由图像，得\frac{1}{2}＜x＜4.$