$证明:∵四边形ABCD为平行四边形，\ $ $∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D.\ $ $又点E、F是AB、CD的中点，\ $ $∴BE=\frac{1}{2}AB，DF=\frac{1}{2}CD，$ $∴BE=DF，$ $∴△ADF≌△CBE(SAS)，$ $∴AF=CE.$
$证明:∵四边形ABCD是平行四边形，$ $ ∴AD//BC，AD=BC.∴∠EAO=∠FCO.$ $ ∵DE=BF，∴AE=CF.$ $ 在△AOE和△COF中，\begin{cases}{∠EAO=∠FCO,\ }\ \\ {\ ∠AOE=∠COF,}\\{AE=CF,} \end{cases}\ \ $ $ ∴△AOE≌△COF(AAS).∴OE=OF.$
$证明::∵四边形ABCD是平行四边形，\ $ $∴AB=CD，∠B=∠D，∠BAD=∠BCD.\ $ $∵AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F，$ $∴∠BAE=∠FCD.\ \ $ $在△ABE与△CDF中，\ $ $\begin{cases}{∠BAE=∠DCF,\ }\ \\ {\ AB=CD, } \\{∠B=∠D,}\end{cases}\ $ $\ ∴△ABE≌△CDF(ASA)，$ $∴AE=CF.$
$证明::∵四边形ABCD是平行四边形，$ $∴AB=CD， BC=AD，∠B=∠D，AD//BC.$ $∴AF//EC.\ $ $∵EA⊥AC，FC⊥AC，$ $∴EA//FC.\ $ $∴四边形AECF是平行四边形.\ $ $∴EC=AF.$ $∴BE=BC-EC=AD-AF=DF.\ $ $在△ABE和△CDF中，\ $ $\begin{cases}{ AB=CD,\ }\ \\ {\ ∠B=∠D,\ } \\{BE=DF,\ }\end{cases}\ $ $∴△ABE≌△CDF(SAS). $
$证明:如图，过点A作AG⊥EC于点G.\ $ $∵EA⊥AC，∠AEC=45°，\ $ $∴△AEC为等腰直角三角形.\ $ $∵AG⊥EC，$ $∴AG=\frac{1}{2} EC=\frac{1}{2}AF.\ $ $∵∠B=30°，$ $∴AG=\frac{1}{2}AB.\ $ $∴\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}AB.$ $∴AB=AF.$
$证明:∵点O为对角线BD的中点，$ $∴OD=OB.\ $ $∵四边形ABCD是平行四边形，\ $ $∴DF//EB.$ $∴∠DFE=∠BEF.\ $ $在△DOF和△BOE中，$ $\begin{cases}{∠DFO=∠BEO,\ \ }\ \\ {∠DOF=∠BOE,\ } \\{DO=BO,\ }\end{cases}\ $ $∴△DOF≌△BOE(AAS). $
$证明:∵△DOF≌△BOE，$ $∴OF=OE.\ \ $ $在△DOE和△BOF中，\ $ $\begin{cases}{\ OE=OF, }\ \\ {\ ∠DOE=∠BOF, } \\{OD=OB,}\end{cases}\ $ $∴△DOE≌△BOF(SAS).$ $∴DE=BF. $
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