$解：设内角和为720°的多边形的边数是n，$ $则(n-2)·180°=720°，解得n=6.$ $ ∵多边形过顶点截去一个角后边数不变或$ $ 减少1，$ $∴原多边形的边数为6或7.$
$解：∵∠BAC=90°,∠C=50°,$ $∴∠ABC= 90°-50°=40°.\ $ $∵BD平分∠ABC,$ $∴∠DBC=\frac{1}{2}∠ABC=20°.\ $ $当△BDP为直角三角形时,有以下两种情况:\ $ $①如图(1),当∠BPD=90°时.\ $ $∵∠C=50°,∴∠CDP=90°-50°=40°；$ $②如图(2),当∠BDP=90°时.\ $ $∵∠DBC=20°,$ $∴∠BPD=90°-20°=70°.\ $ $∵∠BPD=∠C+∠CDP,\ $ $∴∠CDP=70°-50°=20°.\ $ $综上所述,∠CDP的度数为40°或20°. $
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