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$解：原式=a²+6ab+9b².$

$解：原式=a⁴-a²+\frac{1}{4}.$

$ \begin{aligned}解：原式&=(1000+2)² \\ &=1000²+2×1000×2+2² \\ &=1000000+4000+4 \\ &=1004004. \\ \end{aligned}$

$ \begin{aligned} 解：原式&=4a²+4a+1-(4a²-4a+1) \\ &=4a²+4a+1-4a²+4a-1 \\ &=8a. \\ \end{aligned}$

$ \begin{aligned}解：原式&=9x²-6xy+y²-(4x²+4xy+y²)+5xy-5x² \\ &=9x²-6xy+y²-4x²-4xy-y²+5xy-5x² \\ &=-5xy. \\ \end{aligned}$

$ 解:原式=x²+2x+x²+2x+1=2x²+4x+1=2(x²+2x)+1.$

$ 因为x²+2x-2=0，$

$ 所以x²+2x=2，$

$ 所以原式=2×2+1=5.$

$（更多请查看作业精灵详解）$

$解：(2)因为x+2y=3，xy=1，$

$ 所以x²-xy+4y²=x²+4xy+4y²-5xy=(x+2y)²-5xy=3²-5×1=9-5=4.$

(a+b)²

a²+2ab+b²

(a+b)²=a²+2ab+b²

（更多请查看作业精灵详解）

$解：因为x+y=3，xy=2，$

$所以x²+y²$

$ \begin{aligned} &=(x+y)²-2xy \\ &=3²-2×2 \\ &=9-4 \\ &=5. \\ \end{aligned}$

$(x-y)²$

$ \begin{aligned} &=(x+y)²-4xy \\ &=3²-4×2 \\ &=9-8 \\ &=1. \\ \end{aligned}$

$解:由题意，得(a+b)²=a²+2ab+b²=49， a²+b²=25，$

$所以ab=\frac{(a+b)²-(a²+b²)}{2}=\frac{49-25}{2}=12.$

$解:S_{阴影}=a²+\frac{1}{2}b²-\frac{1}{2}\ a(a+b)=\frac{1}{2}(a²-ab+ b²)=\frac{1}{2}[(a+b)²-3ab]. $

$因为a+b=8，ab=15，$

$所以S_{阴影}=\frac{1}{2}×(8²-3×15)=\frac{1}{2}×(64-45)=\frac{19}{2}.$