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 （1）因为$(n - 3)^{2}+\sqrt{3m - 12}=0，$一个数的平方是非负数，一个数的算术平方根也是非负数，要使两个非负数的和为$0，$则这两个数必须都为$0，$所以$n - 3 = 0，$$3m - 12 = 0，$解得$n = 3，$$m = 4，$因此点$A$的坐标是$(0,4)，$点$C$的坐标是$(3,0)。$

 （2）因为点$B$的坐标是$(-5,0)，$所以$OB = 5。$

 ①当$0\leqslant t＜\frac{5}{2}$时，点$P$在线段$OB$上，此时$OP = 5 - 2t，$$OA = 4，$$\triangle POA$的面积$S=\frac{1}{2}× OP× AO=\frac{1}{2}× (5 - 2t)× 4 = 10 - 4t；$

 ②当$t=\frac{5}{2}$时，点$P$和点$O$重合，此时$\triangle APO$不存在，即$S = 0；$

 ③当$t＞\frac{5}{2}$时，点$P$在射线$OC$上，此时$OP = 2t - 5，$$OA = 4，$$\triangle POA$的面积$S=\frac{1}{2}× OP× AO=\frac{1}{2}× (2t - 5)× 4 = 4t - 10。$

 综上，$S=\begin{cases}10 - 4t(0\leqslant t＜\frac{5}{2}) \\ 0(t=\frac{5}{2}) \\ 4t - 10(t＞\frac{5}{2})\end{cases}。$

 （3）存在。分三种情况：

 ①$\angle PAC$为顶角时，即$AP = AC，$因为$A(0,4)，$$C(3,0)，$所以$AO$为$\triangle PAC$的中垂线，因此$PO = CO = 3，$点$P$的坐标为$(-3,0)，$$t=\frac{BP}{2}=\frac{|-5 - (-3)|}{2}=\frac{2}{2}=1；$

 ②$\angle ACP$为顶角时，$AC = CP，$根据勾股定理，$AC=\sqrt{OC^{2}+OA^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5，$所以$CP = 5，$因为点$P$在线段$BO$上，所以$PO = OC - CP = 3 - 5 = -2$（舍去）或$PO = CP - OC = 5 - 3 = 2，$点$P$的坐标为$(-2,0)，$$t=\frac{BP}{2}=\frac{|-5 - (-2)|}{2}=\frac{3}{2}=1.5；$

 ③$\angle APC$为顶角时，$AP = PC，$设$PA = x，$则$PC = x，$在$Rt\triangle PAO$中，$PO = |x - 3|$（因为点$P$在$x$轴负半轴，$PC = x，$$OC = 3，$所以$PO = PC - OC = x - 3$），根据勾股定理可得$x^{2}=(x - 3)^{2}+4^{2}，$解得$x=\frac{25}{6}，$所以$PO=\frac{25}{6}-3=\frac{7}{6}，$点$P$的坐标为$(-\frac{7}{6},0)，$$t=\frac{BP}{2}=\frac{|-5 - (-\frac{7}{6})|}{2}=\frac{|\frac{-30}{6}+\frac{7}{6}|}{2}=\frac{|\frac{-23}{6}|}{2}=\frac{23}{12}。$

 综上，点$P$的坐标为$(-3,0)，$$(-2,0)，$$(-\frac{7}{6},0)，$对应的时间分别是$t = 1，$$1.5，$$\frac{23}{12}。$

$解：(1) 根据题意,得$

$慢车速度为\frac{8}{12}=\frac{2}{3}(km/min),$

$快车速度为\frac{16}{12}=\frac{4}{3}(km/min),$

$它们第一次停靠的时长为$

$\frac{72-2\times 24}{3}=8(min)$

$(2) 由题意,得当20\leqslant t\leqslant 32时,$

$慢车和快车第一次相遇,$

$分别设慢车和快车的函数表达式为s=kt+B(k\neq 0), s=k_{1}t+B_{1}(k_{1}\neq 0),$

$由(1)可得慢车对应的函数图象经过(20,8),(32,16),$

$快车对应的函数图象经过(20,16), (32,0),$

$分别代入函数表达式后,可得$

$\left\{\begin{array}{l} 8=20k+b,\\ 16=32k+b,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l} 16=20k_{1}+b_{1},\\ 0=32k_{1}+b_{1},\end{array}\right. $

$解得\left\{\begin{array}{l} k=\frac{2}{3},\\ b=-\frac{16}{3},\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l} k_{1}=-\frac{4}{3},\\ b_{1}=\frac{128}{3}.\end{array}\right.$

$慢车离 A 站的路程 s 关于 t 的函数表达式为$

$s=\frac{2}{3}t-\frac{16}{3},$

$快车离 A 站的路程 s 关于 t 的函数表达式为$

$s=-\frac{4}{3}t+\frac{128}{3},$

$联立两式\left\{\begin{array}{l} s=\frac{2}{3}t-\frac{16}{3},\\ s=-\frac{4}{3}t+\frac{128}{3},\end{array}\right. $

$解得\left\{\begin{array}{l} t=24,\\ s=\frac{32}{3},\end{array}\right.$

$即第一次相遇时与 A 站的距离为$

$\frac{32}{3}km $

$(3) 由(2),得 t_{1}=12+8+4=24 ,$

$由题意可得函数图象关于过点(36,0)且垂直于横轴的直线对称,$

$P_{1},P_{2}是一组对称点,$

$所以 t_{2}-36=36-t_{1},$

$解得t_{2}=48,t_{2}-t_{1}=24.$

$所以第一次相遇后,经过 24 min 后两车再次相遇 $