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第124页

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 证明：

 ∵ 四边形 $ACFE$ 是正方形，

 ∴ $AC = AE = EF = CF = b，$$\angle ACF = \angle AEF = 90^\circ。$

 由题意知，两个直角三角形全等，设直角边分别为 $a$（短直角边）、$b$（长直角边），斜边为 $c。$

 则 $AD = AB = c，$$DE = BC = a，$$AE = AC = b。$

 计算 $BF$ 的长度：

 ∵ $CF = b，$$BC = a，$且点 $B$ 在 $CF$ 上，

 ∴ $BF = CF - BC = b - a。$

 计算四边形 $ABED$ 的面积（方法一：分割为 $\triangle ABE$ 和 $\triangle ADE$）：

 $\triangle ABE$ 中，$AE = b，$$AE$ 边上的高为 $AC = b$（$\angle CAE = 90^\circ$），

 ∴ $S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} \times AE \times AC = \frac{1}{2}b^2。$

 $\triangle ADE$ 中，$AE = b，$$DE = a，$$\angle AED = 90^\circ，$

 ∴ $S_{\triangle ADE} = \frac{1}{2} \times AE \times DE = \frac{1}{2}ab。$

 故 $S_{四边形ABED} = S_{\triangle ABE} + S_{\triangle ADE} = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab。$

 计算四边形 $ABED$ 的面积（方法二：分割为 $\triangle ADB$ 和 $\triangle DEB$）：

 $\triangle ADB$ 中，$AD = AB = c，$$\angle BAD = 90^\circ，$

 ∴ $S_{\triangle ADB} = \frac{1}{2} \times AD \times AB = \frac{1}{2}c^2。$

 $\triangle DEB$ 中，$DE = a，$$BF = b - a$（$BF$ 为 $DE$ 边上的高），

 ∴ $S_{\triangle DEB} = \frac{1}{2} \times DE \times BF = \frac{1}{2}a(b - a)。$

 故 $S_{四边形ABED} = S_{\triangle ADB} + S_{\triangle DEB} = \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b - a)。$

 联立面积等式：

 $\frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b - a)，$

 两边同乘 2 消去分母：

 $b^2 + ab = c^2 + a(b - a)，$

 展开右侧：$b^2 + ab = c^2 + ab - a^2，$

 移项化简：$b^2 + a^2 = c^2。$

 即证得勾股定理 $a^2 + b^2 = c^2。$

 解：设卡车开到$C$处居民楼开始受到影响，行驶到$D$处时居民楼受噪声的影响结束，则有$CA = DA = 100\ \text{m}。$

 过点$A$作$AB \perp MN$于点$B，$已知点$A$到公路$MN$的距离为$80\ \text{m}，$即$AB = 80\ \text{m}。$

 在$\text{Rt}\triangle ABC$中，根据勾股定理：

 $CB=\sqrt{CA^2 - AB^2}=\sqrt{100^2 - 80^2}=\sqrt{10000 - 6400}=\sqrt{3600}=60\ \text{m}$

 同理可得$DB = 60\ \text{m}，$因此卡车受影响的行驶路程$CD = CB + DB = 60 + 60 = 120\ \text{m}。$

 已知卡车速度为$5\ \text{m/s}，$则受影响时间为：

 $\text{时间}=\frac{\text{路程}}{\text{速度}}=\frac{120}{5}=24\ \text{s}$

 答：该居民楼受卡车噪声影响的时间为$24\ \text{秒}。$

 （1）

 ∵$AB \perp BD，$$AB = 3，$$CD = x，$$BD = 12，$

 ∴$BC = BD - CD = 12 - x。$

 在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理得：

 $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + (12 - x)^2} = \sqrt{9 + (12 - x)^2}。$

 ∵$ED \perp BD，$$DE = 2，$在$Rt\triangle DEC$中，由勾股定理得：

 $CE = \sqrt{CD^2 + DE^2} = \sqrt{x^2 + 2^2} = \sqrt{x^2 + 4}。$

 ∴$AC + CE = \sqrt{9 + (12 - x)^2} + \sqrt{x^2 + 4}。$

 （2）当点$C$是线段$AE$与$BD$的交点时，$AC + CE$的值最小。

 理由：两点之间线段最短，此时$AC + CE = AE。$

 过点$A$作$AF // BD，$交$ED$的延长线于点$F，$则四边形$ABDF$为矩形，

 ∴$AF = BD = 12，$$DF = AB = 3，$$EF = DE + DF = 2 + 3 = 5。$

 在$Rt\triangle AFE$中，由勾股定理得：

 $AE = \sqrt{AF^2 + EF^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13。$

 ∴$AC + CE$的最小值为$13。$

 （3）构造几何模型：设线段$BD = 8，$点$C$为$BD$上一动点，设$CD = x，$则$BC = 8 - x。$

 过点$B$作$AB \perp BD，$且$AB = 5；$过点$D$作$ED \perp BD，$且$ED = 1，$连接$AC$、$CE。$

 则$AC = \sqrt{BC^2 + AB^2} = \sqrt{(8 - x)^2 + 5^2} = \sqrt{(8 - x)^2 + 25}，$

 $CE = \sqrt{CD^2 + DE^2} = \sqrt{x^2 + 1^2} = \sqrt{x^2 + 1}，$

 ∴代数式$\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{(8 - x)^2 + 25}$的最小值即为$AC + CE$的最小值。

 连接$AE，$交$BD$于点$C，$此时$AC + CE = AE$最小。

 过点$A$作$AF // BD，$交$ED$的延长线于点$F，$则四边形$ABDF$为矩形，

 ∴$AF = BD = 8，$$DF = AB = 5，$$EF = DE + DF = 1 + 5 = 6。$

 在$Rt\triangle AFE$中，由勾股定理得：

 $AE = \sqrt{AF^2 + EF^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10。$

 ∴代数式$\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{(8 - x)^2 + 25}$的最小值为$10。$