解：$(1)$在$y=\frac 12x+1$中，令$y=0，$则$x=-2，$令$x=0，$则$y=1$
∴点$A$的坐标为$(-2，$$0)，$点$B$的坐标为$(0，$$1)$
∴$OA=2，$$OB=1$
∵$S_{△ABD}=2，$∴$\frac 12BD·OA=2$
∴$BD=2，$∴$OD=BD-OB=1$
∴点$D$的坐标为$(0，$$-1)，$∴$b=-1$
由$\begin {cases}{y=\frac 12x+1y}\\{y=x-1}\end {cases}，$解得$\begin {cases}{x=4}\\{y=3}\end {cases}$
∴点$P $的坐标为$(4，$$3)$
$(2)$由$(1)$知$BD=2，$点$P $的坐标为$(4，$$3)$
∴$S_{△ADP}=S_{△ABD}+S_{△BDP}=2+\frac 12BD×4=6$
