$(1)$证明：∵$∠ACB = 90°，$$D$是$AB$的中点，
∴$DC = DB = DA，$∴$∠B = ∠DCB$
∵$∆ABC≌∆F DE，$∴$∠F DE = ∠B$
∴$∠F DE = ∠DCB，$∴$DG//BC$
∴$∠AG D = ∠ACB$
∵$∠ACB = 90°，$∴$∠AG D = 90°$
$(2)$由$(1)$可得，$∠AG D = 90°$
∵$DC = DA，$$G D⊥AC，$∴点$G $是$AC$的中点
∴$CG = \frac 12\ \mathrm {A}C=\frac 12×8=4$
∵点$D$是$AB$的中点，∴$DG $是$∆ABC$的中位线
∴$DG = \frac 12BC=\frac 12×6=3$
∴$S_{△DCG}=\frac 12CG·DG=\frac 12×4×3=6$
∴图$1$中重叠部分$(∆DCG)$的面积为$6$
$(3)$连接$BH$
∵$∆ABC≌∆F DE，$∴$∠ABC = ∠F DE$
∵$∠ACB = 90°，$$DE⊥AB$
∴$∠A + ∠ABC = 90°，$$∠A + ∠AHD = 90°$
∴$∠ABC = ∠AHD，$∴$∠A = ∠F DE，$∴$G D = GH$
∵$∠A + ∠AHD = 90°，$$∠ADG + ∠F DE = 90°，$$∠AHD = ∠F DE$
∴$∠A = ∠F DE，$∴$AG = G D，$∴$AG = CG$
∴点$G $是$AG $的中点
∴$S_{△DGH}=\frac 12S_{△ADH}$
∵$AB = \sqrt {AC^2+BC^2}，$$AC = 8，$$BC = 6$
∴$AB = 10$
∴$AD = \frac 12\ \mathrm {A}B=\frac 12×10=5$
∴$S_{△ADH}=\frac 12\ \mathrm {A}D·DH=\frac 12×5×\frac {15}4=\frac {75}8$
∴$S_{△DGH}=\frac 12 S_{△ADH}=\frac 12×\frac {75}8=\frac {75}{16}$
∴重叠部分$(∆DGH)$的面积为$\frac {75}{16}$
