$(2)$证明：延长$F D$至点$G，$使$DG = DF，$连接$BG，$$EG$
∵点$D$是$BC$的中点，∴$DB = DC$
在$∆BDG $和$∆CDF {中}$
$ \begin {cases}{DB=DC}\\{∠BDG=∠CDF}\\{DG=DF}\end {cases}$
∴$∆BDG≌∆CDF(S AS)$
∴$BG = CF$
∵$ED⊥F D，$∴$∠EDF=∠EDG=90°$
在$∆EDF $和$∆EDG {中}$
$ \begin {cases}{ED=ED}\\{∠EDF=∠EDG}\\{DF=DG}\end {cases}$
∴$∆EDF≌∆EDG(S AS)$
∴$EF = EG$
∵在$∆BEG {中}，$$BE + BG＞EG$
∴$BE + CF＞EF$
$(3)$解：$DM⊥BM$且$DM = BM，$理由：
延长$DM$到点$N，$使$MN = DM，$连接$CN，$$BN$
根据$AD = DE，$$AB = BC，$$∠EDA=∠ABC=90°$
可证$∠E=∠BAC=45°，$$∠DAB=90°$
由$(1)$可证$∆DEM≌∆NCM(S AS)，$则$DE = NC，$$∠MCN=∠E=45°$
可证$AD = CN，$$∠BCN=90°，$可证$∆BCN≌∆BAD(S AS)$
则$BN = BD，$可得$∠DBN=90°$
根据$DM = NM，$可得$BM⊥DM，$$DM = BM$
