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解：$(1)$设方案甲的函数表达式为$y_{1}=k_{1}x+1600$

由图可知当$x=200$时$y_{1}=4000$

则$4000=200k_{1}+1600，$解得$k_{1}=12$

∴$y_{1}=12x+1600$

方案乙计件工资比甲低$2$元$/$件，∴$k_{2}=10，$设$y_{2}=10x+b_{2}$

将$(200，$$4000)$代入得$4000=200×10+b_{2}，$解得$b_{2}=2000$

∴$y_{2}=10x+2000$

$ (2)$当$x＞200$时选择方案甲，当$x=200$时两种方案一样，

当$x＜200$时选择方案乙

解：$(1)$令$y=0，$则$0=\frac 12x+2，$解得$x=-4，$∴点$A(-4，$$0)$

令$x=0，$则$y=2，$∴点$B(0，$$2)$

$ (2)$设点$P(x，$$y)$

$S_{\triangle BOP}=\frac 12×2×|x|=|x|，$

$S_{\triangle COP}=\frac 12×2×y=y$

由$|x|=y$及$y=\frac 12x+2$

解得$\begin {cases}x=4\\y =4\end {cases}$或$\begin {cases}x=-\frac 43\\y =\frac 43\end {cases}$

∴点$P $的坐标为$(4，$$4)$或$(-\frac 43，$$\frac 43)$