解：$(1)$设$1$号机高度$y_{1}$关于时间$x$的函数表达式为$y_{1} = kx + b$
由图可知，将$(0，$$ 3)，$$(9，$$ 12)$代入
得$\begin {cases}{b=3}\\{12 = 9k +b}\end {cases}，$解得$\begin {cases}{k = 1}\\{b=3}\end {cases}$
∴$y_{1} =x + 3$
由题意得$y_{2} = 6 + 0.5x，$函数图象如图所示
$(2)$当$y_{1}=y_{2}$时，$x+3=0.5x+6$
解得$x=6$
∴$x+3=6+3=9m$
∴能位于同一高度，高度为$9\ \mathrm {m}$
