解：$(1)$设一次函数表达式为$y = kx + b$
将点$(1，$$ -1)$和$(2，$$ 1)$代入得$\begin {cases}-1 = k + b\\1 = 2k + b\end {cases}，$解得$\begin {cases}{k = 2}\\{b = -3}\end {cases}$
∴表达式为$y = 2x - 3$
$(2)$令$y = 0，$则$2x - 3 = 0，$解得$x = \frac 32，$∴点$A(\frac 32，$$ 0)；$
令$x = 0，$则$y = -3，$∴点$B(0，$$ -3)，$
$\triangle AOB$的面积为$\frac 12×|\frac 32|×|-3| = \frac 12×\frac 32×3 = \frac 94$
