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解：$(1)$如图所示

$(2)$函数$y=2x+3$和$y=5x-2$的图象$y$随$x$的增大而增大，

函数$y=-x$和$y=-x+3$的图象$y$随$x$的增大而减小

$(3)y=-x$与$y=-x+3$的图象平行

$(4)y=2x+3$与$y=-x+3$的图象交于$y$轴上同一点

解：$(1)$∵该函数是正比例函数，∴常数项必须为$0$且一次项系数不为$0$

即$2k - 2 = 0$且$1 - 3k \neq 0，$∴$k = 1$

$(2)$当$k = 0$时，函数为$y = (1 - 0)x + 0 - 2 = x - 2$

∵一次项系数$1 ＞ 0，$∴$y$随$x$的增大而增大

又∵$x_{1} ＜ x_{2}，$∴$y_{1} ＜ y_{2}$

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