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$-2 ＜ m ＜ 1$

解：$(1)$如图所示

$ (2)A_{1}(4，$$4)，$$B_{1}(2，$$0)，$$C_{1}(1，$$2)$

解：∵点$A，$$B$关于$x$轴对称，∴横坐标相等，纵坐标互为相反数

∴$\begin {cases}a + b = 2b - 1\\a - b=-(3a + 7)\end {cases}，$解得$\begin {cases}a=-2\\b =-1\end {cases}$

$(3,2)$

$(2 - m,n)$

解：$(2)$∵$M，$$N$关于直线$l_{2}∶x=a$对称

∴纵坐标相等且横坐标中点为$a$

则$\begin {cases}-a + 2b = a - b\\\frac {(2a + b + 4)+(4a - 3b)}2=a\end {cases}，$解得$\begin {cases}a=-\frac 32\\b =-1\end {cases}$

∴$a + b=-\frac 52$