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解：$(1)x^2 - 2xy + y^2=(x - y)^2，$$x - y=(\sqrt 3+1)-(\sqrt 3-1)=2$

∴$x^2-2xy+y^2=2^2=4$

$(2)x+y=\sqrt 3+1+\sqrt 3-1=2\sqrt 3$

$x^2 - y^2=(x - y)(x + y)=2×2\sqrt 3=4\sqrt 3$

解：$(1)$由数轴知$2 ＜ a ＜ 3$

$b=\vert a - \sqrt {10}\vert + \vert 2 - a\vert =\sqrt {10}-a + a - 2=\sqrt {10}-2$

$(2)b + 2=\sqrt {10}，$$m=\sqrt {10}-3，$

$8 - b=10 - \sqrt {10}，$$n=4 - \sqrt {10}$

∴$2\ \mathrm {m} + 2n + 1=3，$平方根为$\pm \sqrt 3$