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证明：∵$AB=AC，$∴$∠B=∠C$

在$∆P BQ $和$∆Q CR {中}$

$\begin {cases}{P B=Q C}\\{∠B=∠C}\\{Q B=R C}\end {cases}$

∴$∆P BQ≌∆Q CR(S AS)$

∴$QP=QR$

∴点$Q $在$PR $的垂直平分线上

解：连接$CE$

∵$∆ABC$是等边三角形

∴$AC=BC，$$∠ACB=60°$

∵$EA=EB，$$EC=EC$

∴$∆EAC≌∆EBC(\mathrm {SSS})$

∴$∠ECB=30°$

∵$BD=AC=BC，$$BE$平分$∠DBC$

∴$∠DBE=∠CBE$

又$BE=BE$

∴$∆DBE≌∆CBE(S AS)$

∴$∠D=∠ECB=30°$

证明：∵$AE⊥CD$

∴$∆AEC$为直角三角形

∵$F $是$AC$中点，∴$EF=F C$

∴$∠FEC=∠F CE$

∵$CD$平分$∠ACB$

∴$∠F_{C}E=∠BCE$

∴$∠FEC=∠BCE$

∴$EF//BC$

B

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