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证明：连接$DE$

∵$AD$是$∆ABC$的高线，$E$是$AC$的中点

∴在$Rt∆ADC$中，$DE=\frac 12AC$

∵$BD=\frac 12AC，$∴$DE=BD$

∴$∆BDE$是等腰三角形

∵$F $是$BE$的中点

∴$DF⊥BE$

解：∵$AD $平分$∠BAC，$∴$∠BAD = ∠CAD$

∵$DE//AC，$∴$∠CAD = ∠ADE$

∴$∠BAD = ∠ADE，$∴$AE = DE$

∵$BD ⊥ AD，$∴$∠ADB = 90°$

∴$∠ADE + ∠BDE = 90°，$$∠BAD + ∠ABD = 90°$

∴$∠BDE = ∠ABD，$∴$BE = DE，$∴$BE = DE = AE$

∵$AB = 5，$∴$DE=\frac 12\ \mathrm {A}B=2.5$

$(1)$证明：∵$PM⊥OA，$∴$∠OMP=90°$

在$Rt∆OMP $中，$D$是$OP $的中点，∴$DM=\frac 12OP=DO$

∴$∠DMO=∠DOM，$∴$∠MDP=2∠MOP$

同理可知，$∠NDP=2∠NOP$

∴$∠MDN=∠MDP+∠NDP=2∠MON$

$(2)$解：$∠MDN=2∠MON，$理由如下：

∵$PM⊥OA，$∴$∠OMP=90°$

在$Rt∆OMP $中，$D$是$OP $的中点，∴$DM=\frac 12OP=DO$

∴$∠DMO=∠DOM，$∴$∠MDP=2∠MOP$

同理可知，$∠NDP=2∠NOP$

∴$∠MDN=∠NDP-∠MDP=2(∠NOP-∠MOP)=2∠MON$

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