解：$(1)$∵在$\odot O$中，$AB$是$\odot O$的弦
∴$OA=OB$
∵$∠AOB=60°，$$AB=2$
∴$△OAB$是等边三角形，$OA=OB=AB=2$
过点$O$作$OC⊥AB，$垂足为$C，$如图
则$AC=\frac 12AB=\frac 12×2=1$
在$Rt△OAC$中，$∠OCA=90°，$$OA=2，$$AC=1$
根据勾股定理，得$OC=\sqrt {OA^2-AC^2}=\sqrt {2^2-1^2}=\sqrt {3}$
∴$S_{△OAB}=\frac 12AB ·OC=\frac 12×2×\sqrt {3}=\sqrt {3}$
又∵$∠AOB=60°，$$△OAB$是等边三角形且边长是$2$
∴$S_{扇形OAB}=\frac {60}{360}×π×2^2=\frac 23π$
又∵点$P $到直线$AB$的距离为$x，$$AB=2$
∴$S_{△PAB}=\frac 12\ \mathrm {·}x=\frac 12×2×x=x$
∴图中的阴影部分的面积$y=S_{△PAB}+S_{扇形OAB}-S_{△OAB}=x+\frac 23π-\sqrt {3}$
自变量$x$的取值范围是$0＜x≤2+\sqrt {3}$
$(2)①$如图所示，分别以点$A($或点$B)$为圆心，以$AB$的长为半径画弧交$\odot O$
于点$P_{1}($或$P_{2})$
②折线的画法，以过点$P_{1}$的情况为例
过点$O$作$OC⊥AB，$垂足为$C，$延长$OC$交$\odot O$于点$D$
连接$P_{1}C、$$CD，$则折线$P_{1}-C-D$即为所求
弧线的画法，以点$P_{1}$的情况为例
以$P_{1}$为圆心，$P_{1}A$长为半径画弧，交$P_{1}B$于点$F，$则$\widehat {AF}$即为作求
直线的画法，以点$P_{1}$的情况为例
作$OC⊥AB，$$C$为垂足，延长$OC$交$\odot O$于点$D$
连接$P_{1}D，$过点$A$作$AE//P_{1}D，$交$BP_{1}$延长线于点$E$
取$BE$的中点$M，$则线段$DM$即为所求
答：不写作法。
