解：$(1)$半径为$4$厘米
$ (2)①$如图，设该圆的圆心为$O ，$连接$OD，$$OE$
过点$O$作$OG⊥AB，$$OH⊥AC，$垂足分别为$G、$$H$
根据题意得$AD=1，$$AE=2，$$AF=6$
∴$EF=4$
∵$OH⊥AC$
∴$∠OHA=90°，$且$EH= \frac 12EF= 2$
∴$AH=4$
∵$OG⊥AB$
即$∠OGA=90°，$且$∠BAC=90°$
∴四边形$AGOH$是矩形
∴$OG=AH=4$
设$DG=x，$则$OH=AG=x+1$
∵在$Rt△GOD$中，$∠OGD=90°$
∴$OG^2 +GD^2 = OD^2$
在$Rt△ EOH$中，$∠OHE=90°$
∴$OH^2+ EH^2= OE^2$
∵$OD=OE$
∴$OG^2+GD^2 = OH^2+ EH^2$
∴$4^2+x^2=(x+1)^2+2^2$
解得$x=\frac {11}2$
∴$OD^2=4^2+(\frac {11}2)^2=\frac {185}4$
∴$OD=\frac {\sqrt {185}}2$
即圆$O$的半径为$\frac {\sqrt {185}}2\ \mathrm {cm}$
②如图，作$OG⊥AB$于点$G，$$OH⊥EF $于$H，$延长$OH$交$AB$的延长线于$I$
由题意得：$AH=4，$$AI=8，$$HI=4\sqrt {3}$
$ $设$OG=x，$则$IG=\sqrt {3}x，$$IO=2x$
$ GD=8-1-\sqrt {3}x=7-\sqrt {3}x，$$OH=4\sqrt {3}x-2x$
∵$OD=OE$
∴$x^2+(7-\sqrt {3})^2=(4\sqrt {3}-2x)^2+2^2$
解得$x=\frac {\sqrt {3}}2$
∴$OD^2=(\frac {\sqrt {3}}2)^2+(7-\sqrt {3}×\frac {\sqrt {3}}2)^2=31$
∴$r=\sqrt{31}\ \mathrm {cm}$
