解：$(2)$当$t=22.5$时，$ θ=6t=135$
∵$\widehat {AB}$的长为$\frac {135}{360}×2π× 4.8= 3.6π$
过点$B$作$BD//OC ，$过点$O$作$OE⊥BD，$垂足为$E $
∴$OC⊥CD$
∴$∠OCD=90°$
∵$BD//OC$
∴$∠EDC= 180°-∠OCD=90°$
∵$OE⊥BD$
∴$∠OED=90°$
∴四边形$OCDE$是矩形
∴$ED=OC，$$∠COE=90°$
∵$∠BOC=135°$
∴$∠BOE=45°$
∵$OB=4.8$
∴$BE= OE =\frac {12\sqrt 2}5$
∴$BD=BE+ED=BE+OA+AC=\frac {12\sqrt 2}5+4.8+0.8=\frac {28+12\sqrt 2}5$
∴点$A$的运动路径长是$3.6π$米，点$B$与地面的距离是$\frac {28+12\sqrt 2}5$
