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解：$(1)$若小明随意选择，则共有$3$种等可能的结果，其中正确的选项只占一种，

∴$ P=\frac 13$

$(2)$若排除一个错误选项，则现在共有$2$种等可能的结果，其中正确的选项只占一种，

∴$ P=\frac 12$

解：(1)若抽取1名，共有3种等可能的结果，其中恰好是甲占一种，

∴ $P=\frac 13$

(2)若抽取2名，则可能结果有甲乙、甲丙、乙丙共3种等可能的结果，其中

甲在其中占2种

∴ $P=\frac 23$

解：$(1)$设总共有$n$个球

∴$ P=\frac 2n=\frac 12$

∴$ n=4$

则红球的个数为：$4-2-1=1($个$)$

$ (2)$不正确，画树状图如下：

$ $一共有$4$种等可能的结果，其中摸到白球占$2$种，黄球和红球各占一种

∴$P($摸到白球$)=\frac 24=\frac 12；$$P($摸到黄球$)=\frac 14；$$P($摸到红球$)=\frac 14$