证明$： (1)$∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$∠MBA =∠MAB=45°$
∵$BD//EF$
∴$∠DBA =∠BAF$
∴$∠BAF= 45°$
∴$∠CAF= 90°$
∴$CA ⊥ EF$
∴直线$EF $与$O$相切
$(2 )$连接$ON$
∵圆$O$与$BC$相切于点$N $
∴$ON⊥BC $
∴$∠CNO = 90°$
∵四边形$ABCD$是正方形
∴$∠ABC = 90°$
∴$∠ACB=45°$
∴$CN=ON$
在$Rt△ABC$中$，$由勾股定理$，$得$AC=\sqrt 2$
设圆$O$的半径为$x，$则有$ON= AO= x，OC=\sqrt 2-x$
在$Rt△CON$中，$x^2+x^2=(\sqrt 2-x)^2$
解得$x= 2-\sqrt 2$
答$：$圆$O$的半径为$2 -\sqrt 2$
