解：$(1)$规定向北为正方向，
则向北行驶$50\ \mathrm {km }$记作$+50\ \mathrm {km}，$向南行驶$40\ \mathrm {km}{记作}-40\ \mathrm {km}.$
$(2)$购进大米$200\ \mathrm {kg }$记作$+200\ \mathrm {kg}，$卖出$120\ \mathrm {kg}{记作}-120\ \mathrm {kg}.$
$(3)$上升$0.3\ \mathrm {m}{记作}+0.3\ \mathrm {m}，$下降$0.4\ \mathrm {m}{记作}-0.4\ \mathrm {m}，$
下降$0.2\ \mathrm {m}{记作}-0.2\ \mathrm {m}，$上升$0.8\ \mathrm {m}{记作}+0.8\ \mathrm {m}.$
