第73页 - 启东中学作业本八年级数学人教版

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(4)解:∠BFC=α

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$证明:∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形\ $

$∴AE=AD,AC=AB,∠BAC=∠DAE=90°$

$∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC$

$即∠BAD=∠CAE$

$在△ACE和△ABD中$

$\begin{cases}{ AE=AD }\ \\ { ∠EAC=∠DAB } \\{ AC=AB} \end{cases}$

$∴△ACE≌△ABD(SAS) $

$解:∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形\ $

$∴∠ACB=45°,∠D=45°\ $

$∵△ACE≌△ABD,∴∠CEA=∠D=45°$

$①当EC=EG时$

$∠CGE=\frac{1}{2}(180°-45°)=67.5°\ $

$∴∠CAG=∠CGE-∠ACG=67.5°-45°=22.5°$

$②当GC=GE时，∠CGE=180°-45°-45°=90°\ $

$∴∠CAG=∠CGE-∠ACG=90°-45°=45°\ $

$③∵∠CGE=∠ACG+∠CAG=45°+∠CAG＞45°$

$当CE=CG时,∠CGE=∠CEG=45°,与题意不符$

$综上所述，∠CAG的度数为22.5°或45° $

$证明:过点D作DH//AB，交BC于点H$

$∵△ACE≌△ABD\ $

$∴BD=EC,∠ECA=∠ABD=∠CAB=90°\ $

$∴EC//AB//DH,∴∠FDH=∠FEC,∠HDB=90°$

$又∵∠ABC=45°,∴∠HBD=∠DHB=45°$

$∴HD=BD$

$∴HD=EC,∠CFE=∠HFD,∠FDH=∠FEC$

$在△ECF和△DHF中$

${{\begin{cases} {{∠CFE=∠HFD}} \\ {∠FEC=∠FDH} \\ {CE=HD} \end{cases}}}$

$∴△ECF≌△DHF(AAS),∴EF=DF$

$∴F为DE的中点 $

$证明:∵∠BAC=∠DAE\ $

$∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD$

$即∠BAD=∠CAE$

$在△BAD和△CAE中$

$\begin{cases}{ AB=AC }\ \\ { ∠BAD=∠CAE } \\{ AD=AE} \end{cases}$

$∴△BAD≌△CAE(SAS) $

$解:BD⊥CE且BD=CE,理由:$

$由(1)知，△BAD≌△CAE\ $

$∴∠ABD=∠ACE,BD=CE$

$∵∠BAC=90°\ $

$∴∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB=90°\ $

$∴∠BFC=90°,∴BD⊥CE $

$解:由(2)得∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB\ $

$∴∠BFC=∠BAC$

$∵∠BAC=60°,∴∠BFC=60° $