$证明:∵△ABC是等边三角形\ $ $∴∠ABC=∠ACB=60°,AC=BC$ $∵D是AB的中点$ $∴∠CDB=90°,∠DCB=\frac{1}{2}∠ACB=30°\ $ $∵DC=DE,∴∠E=∠DCB=30°$ $∵∠EDB=∠ABC-∠E=30°\ $ $∴∠EDB=∠E=30°,∴BE=BD$ $∵BD=AD,∴BE=AD $
$解:BE=AD还成立,理由:$ $过点D作DF//CB，交AC于点F$ $∵△ABC是等边三角形\ $ $∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°$ $∴∠ABE=180°-∠ABC=120°\ $ $∵DF//BC,∴∠ADF=∠ABC=60°$ $∠AFD=∠ACB=60°$ $∴∠CFD=180°-∠AFD=120°$ $∴∠ABE=∠CFD=120°\ $ $∵∠A=∠ADF=∠AFD=60°$ $∴△ADF是等边三角形,∴AD=DF\ $ $∵DE=DC,∴∠E=∠DCE\ $ $∵DF//BC,∴∠DCB=∠FDC,∴∠E=∠FDC$ $\ 在△DBE和△CFD中$ ${{\begin{cases} {{∠DBE=∠CFD}} \\ {∠E=∠CDF} \\ {DE=CD} \end{cases}}} $ $∴△DBE≌△CFD(AAS),∴BE=DF,∴BE=AD$
$解:△DEF是等边三角形,证明如下:$ $∵△ABC是等边三角形\ $ $∴∠A=∠B=∠C,AB=BC=CA$ $又∵AD=BE=CF,∴DB=EC=FA\ $ $∴△ADF≌△BED≌△CFE, ∴DF=DE=EF$ $即△DEF是等边三角形 $
$解:AD=BE=CF成立,证明如下:\ $ $∵△DEF是等边三角形\ $ $∴DE=EF=FD,∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°\ $ $∴∠1+∠2=120°,又∵△ABC是等边三角形\ $ $∴∠A=∠B=∠C=60°，∴∠2+∠3=120°$ $∴∠1=∠3,同理∠3=∠4\ $ $∴△ADF≌△BED≌△CFE,∴AD=BE=CF $
$证明:如答图①,在CA上截取CM=CD,连接DM\ $ $∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°$ $∴△CDM是等边三角形\ $ $∴MD=CD=CM,∠CMD=CDM=60°\ $ $∴∠AMD=120°$ $∵∠ADE=60°,∴∠ADE=∠MDC$ $∴∠ADM=∠EDC$ $∵DE与△ACB的外角平分线交于点E\ $ $∴∠ACE=60°，∴∠DCE=120°=∠AMD\ $ $在△ADM和△EDC中$ $\begin{cases}{ ∠ADM=∠EDC }\ \\ { MD=CD } \\{∠AMD=∠ECD } \end{cases}$ $∴△ADM≌△EDC(ASA)\ $ $∴AM=CE,∴CA=CM+AM=CD+CE $
$解:CA=CE-CD,证明如下:\ $ $如答图②，在AC的延长线上截取CM=CD$ $连接DM$ $∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°\ $ $∴∠DCM=60°,∴△CDM是等边三角形\ $ $∴MD=CD=CM,∠CMD=∠CDM=60°$ $∵DE与△ACB的外角平分线交于点E\ $ $∴∠ACE=∠DCE=60°,∴∠ECD=∠AMD\ $ $∵∠ADE=60°，∴∠ADE=∠CDM\ $ $∴∠ADM=∠EDC$ $在△ADM和△EDC中$ $\begin{cases}{ ∠ADM=∠EDC }\ \\ { MD=CD } \\{ ∠AMD=∠ECD} \end{cases}$ $∴△ADM≌△EDC(ASA),∴AM=EC$ $∴CA=AM-CM=CE-CD $
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