$证明:过点D作DG//AC交BC于点G$ $∵DG//AC,∴∠GDF=∠E,∠DGB=∠ACB$ $在△GDF和△CEF中$ $\begin{cases}{ ∠GDF=∠E }\ \\ { DF=EF } \\{ ∠DFG=∠EFC} \end{cases}$ $∴△GDF≌△CEF(ASA),∴GD=CE$ $∵BD=CE,∴BD=GD,∴∠B=∠DGB=∠ACB$ $∴△ABC是等腰三角形$
$解:结论:PN=2BM,证明:$ $如答图①，作PF//AC交BC于点F，$ $交BD于点E$ $∵BD⊥AC,PF//AC,∴PF⊥BD,∠BPE=∠A=45°$ $∴∠BEP=90°,∠BPE=∠PBE=45°,∴BE=PE\ $ $∵PM⊥BC,∴∠PMB=∠PEN=90°\ $ $∵∠BNM=∠PNE,∴∠NPE=∠EBF\ $ $在△PEN和△BEF中$ ${{\begin{cases} {{∠NPE=∠FBE}} \\ {PE=BE} \\ {∠PEN=∠BEF} \end{cases}}} $ $∴△PEN≌△BEF(ASA),∴PN=BF\ $ $∵AB=AC,∴∠ABC=∠C$ $∵∠PFB=∠C,∴PB=PF\ $ $∵PM⊥BF,∴BM=MF,∴PN=2BM $
$解:结论成立,证明:$ $如答图②，作PF//AC交CM的延长线于点E，\ $ $交DN的延长线于点F\ $ $∵∠ABD=∠PBF=∠BPF=45°,∴BF=PF$ $易得∠EBF=∠EPM$ $在△BFE和△PFN中$ ${{\begin{cases} {{∠EBF=∠NPF}} \\ {BF=PF} \\ {∠BFE=∠PFN} \end{cases}}}$ $∴△BFE≌△PFN(ASA),∴PN=BE\ $ $∵∠E=∠C=∠ABC=∠PBE,∴PE=PB\ $ $∵PM⊥EB,∴EM=BM,∴PN=2BM $
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