第75页 - 经纶学典新课时作业八年级数学上下册【江苏国标】

$解:∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，\ $

$∴BC//EF，∴四边形BCEF是平行四边形.\ $

$如图，连接EB交AD于点O.$

$要使四边形EFBC是菱形，则BE⊥CF$

$在Rt△EFD中，∠DEF=90°，EF=3，DE=4，$

$∴DF=\sqrt{3²+4²}=5，$

$∴EO=\frac{DE·EF}{DF}=\frac {12}{5}，$

$∴OF=OC=\sqrt{EF²-EO²}=\frac{9}{5}，∴CF=\frac{18}{5}，$

$∴AF=CD=DF-FC=5-\frac{18}{5}=\frac{7}{5}$

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$证明:延长CE交AB于点G，∵AE⊥CE，∴∠AEG=∠AEC=90°.$

$∵AE平分∠BAC，∴∠GAE=∠CAE.\ $

$在△AEG和△AEC中，\begin{cases}{∠GAE=∠CAE,}\\{AE=AE,}\\{∠AEG=∠AEC,}\end{cases}$

$∴△AEG≌△AEC(ASA)，∴GE=EC.\ $

$∵BD=CD，∴DE为△CGB的中位线，$

$∴DE//AB.∵EF//BC，∴四边形BDEF是平行四边形. $

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$证明:∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，$

$∴∠ABF=135°.∵∠BCD=90°，∴∠ACD=135°，$

$∴∠ABF=∠ACD.∵CB=CD，CB=BF，∴BF=CD.\ $

$在△ACD和△ABF中，\begin{cases}{AC=AB,}\\{∠ACD=∠ABF,}\\{CD=BF,}\end{cases}$

$∴△ACD≌△ABF(SAS)，∴AD=AF.$

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$证明:∵AB//DE，∴∠A=∠D.\ $

$∵AF=CD，$

$∴AF+FC=CD+FC，即AC=DF.\ $

$在△ABC和△DEF中，$

$\begin{cases}{AC=DF,}\\{∠A=∠D,}\\{AB=DE,}\end{cases}$

$∴△ABC≌△DEF(SAS).$

$解:BF=\frac{1}{2}(AB-AC)$

$证明如下: $

$∵四边形BDEF是平行四边形，$

$∴BF=DE $

$∵D、E分别是BC、GC的中点，$

$∴BF=DE=\frac{1}{2}BG $

$∵△AGE≌△ACE，$

$∴AG=AC， $

$ \begin{aligned} ∴BF&=\frac{1}{2}(AB-AG) \\ &=\frac{1}{2}(AB-AC). \\ \end{aligned}$

$解:四边形ABNE是正方形.$

$理由如下:\ $

$由(1)知AF=AD，△ABF≌△ACD，$

$∴∠FAB=∠DAC.\ $

$∵∠BAC=90°，$

$∴∠EAB=∠BAC=90°，$

$∴∠EAF=∠BAD$

$在△AEF和△ABD中，$

$\begin{cases}{AE=AB,}\\{∠EAF=∠BAD,}\\{AF=AD,}\end{cases}$

$∴△AEF≌△ABD(SAS).\ $

$∵CD=CB，∠BCD=90°，\ $

$∴∠CBD=45°，$

$∴∠ABD=45°+45°=90°.\ $

$∵△AEF≌△ABD，$

$∴∠AEF=∠ABD=90°.\ $

$∵∠ABN=180°-∠ABD=90°，\ $

$∴∠EAB=∠AEF=∠ABN=90°，$

$∴四边形ABNE是矩形.$

$又AE=AB，$

$∴四边形ABNE是正方形.$