第72页 - 经纶学典新课时作业八年级数学上下册【江苏国标】

C

B

A

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证明:由折叠的性质可知BE=PE，

∴∠EBP=∠EPB.

又∵∠EPH=∠EBC=90°，

∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP，

即∠BPH=∠PBC.

又∵AD//BC，∴∠APB=∠PBC，

∴∠APB=∠BPH.

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$解:如图，连接BE、BD，$

$∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，$

$∴AB=BC=CD=2，∠A=∠C=60°，$

$∴△BCD是等边三角形$

$∵E是CD的中点，$

$∴DE=CE=1，BE⊥CD，$

$∠EBC=30°，∴BE=\sqrt{3}，$

$∵CD//AB，$

$∴∠ABE=∠CEB=90°$

$由折叠可得AF=EF，$

$∵EF²=BE²+BF²，$

$∴EF²=3+(2-EF)²，$

$∴EF=\frac{7}{4} $

$解:∵四边形ABCD为正方形， $

$∴AB=AD=12，∠BAD=∠D=90°. $

$设BF与AG的交点为H $

$由折叠及轴对称的性质可知，$

$△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，$

$∴BF⊥AE，AH=GH， $

$∴∠BAH+∠ABH=90°.$

$又∵∠FAH+∠BAH=90°，$

$∴∠ABH=∠FAH， $

$∴△ABF≌△DAE(ASA)，$

$∴AF=DE=5， $

$在Rt△ABF中，$

$ \begin{aligned} BF&=\sqrt{AB²+AF²} \\ &=\sqrt{12²+5²} \\ &=13， \\ S_{△ABF}&=\frac{1}{2}AB·AF \\ &=\frac{1}{2}BF·AH， \\ \end{aligned}$

$即12×5=13AH， $

$∴AH=\frac{60}{13}，$

$∴AG=2AH=\frac{120}{13} $

$∵AE=BF=13，$

$ \begin{aligned} ∴GE&=AE-AG \\ &=13-\frac{120}{13} \\ &=\frac{49}{13} \\ \end{aligned}$

$解:△PHD的周长不变，为定值8. $

$证明:如图，过点B作BQ⊥PH，垂足为Q.$

$由(1)知 $

$∠APB=∠BPH$

$在△ABP和△QBP中，$

$\begin{cases}{∠A=∠BQP,}\\{∠APB=∠QPB,}\\{BP=BP,}\end{cases}$

$∴△ABP≌△QBP(AAS)，$

$∴AP=QP，AB=QB.$

$又∵AB=BC，∴ BC=BQ.$

$又∵∠C= ∠BQH=90°，$

$BH=BH，$

$∴Rt△BCH≌Rt△BQH(HL)，$

$∴CH=QH，$

$ ∴△PHD的周长为$

$ \begin{aligned}PD+DH+PH&=AP+PD+DH+HC \\ &=AD+CD \\ &=8. \\ \end{aligned}$